關系運算：除

數據庫的關系運算中，專門的關系運算包括選擇，投影，連接和除。本文講解一下除運算的原理。

在講解除運算之前，先介紹一下象集的概念。

關于像集的概念：

給定一個關系R（X,Z），X和Z為屬性組，當t[X] = x時，x在R中的像集（Images Set）為：

Z_X={t[Z]|t∈R，t[X] = x}

它表示R中屬性組X上值為x的諸元組在Z上分量的集合。

關系除運算的定義：

關系的除運算是同時從關系的水平方向和垂直方向上進行的運算。假設關系R（X,Y）和S（Y,Z），X、Y、Z為屬性組。R÷S應當滿足元組在X上的分量值X的像集YX包含關系S在屬性組Y上投影的集合。其形式定義為：

R÷S = {t_n[X]|t_n∈R^π_Y(S)⊆Y_X}

R與S的除運算得到一個新的關系P（X），P是R中滿足下列條件的元組在X屬性列上的投影：

關系R（X，Y）和S（Y，Z），其中X，Y，Z為屬性組（R中的Y與S中的Y可以有不同的屬性名，但必須出自相同的域集）；

元組在X上的分量值X 的像集YX包含S在Y上的投影。

下面以一個例子來說明：

假設關系R和S如下：

計算R÷S的過程：

a1的象集為{（b1,c2）,(b2,c3),(b2,c1)}

a2的象集為{(b3,c7),(b2,c3)}

a3的象集為{(b4,c6)}

a4的象集為{(b6,c6)}

S在（B，C）上的投影為：

{(b1,c2),(b2,c1),(b2,c3)}

因為只有a1的象集包含了S在（B，C）屬性組上的投影，故R÷S={a1}，即：

R÷S的結果為：