伯努利分布、二項分布及在R中的實現

1、伯努利分布

在我們實際生活中，許多事件發生的結果存在著非此即彼的現象，如拋硬幣，正面朝上的結果不是“是”就是“否”，或“正”或“反”；出生嬰兒的性別一般是“男”或“女”，抽獎的結果不是“中了”就是“沒中”等。這些事件可以被稱為伯努利實驗。

伯努利分布(Bernoulli distribution)又名兩點分布或0-1分布。伯努利分布是一個離散型的隨機分布，其中的隨機變量只有兩類取值。伯努利試驗是單次隨機試驗，只有"成功（值為1）"或"失敗（值為0）"這兩種結果，是由瑞士科學家雅各布·伯努利(1654 - 1705)提出來的。

伯努利試驗是只有兩種可能結果的單次隨機試驗，即對于一個隨機變量X而言：

則稱隨機變量X服從參數為p的伯努利分布，若令q=1一p，則X的概率函數可寫為：

或：

其期望值為：

其方差為：

2、二項分布

二項分布(Binomial distribution)即重復n次的伯努利試驗，記為 X~b(n,p)。概率密度函數（概率質量函數）為

其中，

是組合公式，表示從n個不同元素中取出x個元素的所有組合的個數。其中n是試驗次數，x是試驗結果為正的次數，q是試驗結果為正的概率，1-q是試驗結果為負的概率。

顯然，從定義可以看出，伯努利分布是二項分布在n=1時的特例.

其期望為：

μ = np

方差為：

σ²=npq

3、R語言中的相關函數

（1）dbinom(x, size, prob) 試驗size次，每次成功率為prob，成功x次的概率是多少？

（2）pbinom(q, size, prob) 成功q次的累計概率

（3）rbinom(n, size, prob) 返回n個試驗size次的成功次數

假設玩拋硬幣游戲，共拋10次，每次正面朝上（成功）的概率為0.5，

size <- 10
p <- 0.5
x <- 6
dbinom(x, size, p)
pbinom(x, size, p)
rbinom(x, size, p)

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